BẤT ĐẲNG THỨC

Bất đẳng thức và các ứng dụng

I. Có mang bất đẳng thức cơ bản

1.1 Số thức dương, số thực âm

nếu a là số thực dương, ta kí hiệu a>0

ví như a là số thực âm, ta kí hiệu ab hoặc a

lấp định của mệnh đề a>0 làa≤0a≤0

che định của mệnh đề a

*
*
*
*
*
*
*
*

*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

Bất đẳng thức có được từ hằng đẳng thức dạng(a−b)2≥0

*
*
*

Bất đẳng thức AM – GM (Sách giáo khoa việt nam gọi là bất đẳng thức Côsi)

*
*
*
*
*
*
*

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Sách giáo khoa vn gọi là bất đẳng thức Bunhiacopsky)

*
*
*
*
*

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức

*
*
*

Bất đẳng thức Mincopski (bất đẳng thức véctơ)

*
*

Bài 1. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãna2+ b2+ c2= 3.

Bạn đang xem: Bất đẳng thức

Chứng minh rằng:

*
*

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ còn khi a = b = c = 1.

Ôn tập về Bất đẳng thức

1. Có mang bất đẳng thức

– những mệnh đề dạng “ab” được hotline là bất đẳng thức.

2. Bất đẳng thức hệ quả cùng bất đẳng thức tương đương

– nếu mệnh đề “a3. Tính chất của bất đẳng thức

° cùng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số:

a0: a bc

° cộng hai bất đẳng thức cùng chiều

a0, c>0: a*: a2n+12n+1

– với n∈ N*và a>0: a2n2n

° Khai căn hai vế của một bất đẳng thức

*

2. Các hệ trái của Bất đẳng máy Cô-si

° Hệ trái 1:Tổng của một vài dương với nghịch đảo của nó to hơn hoặc bằng 2.

*

Bất đẳng thức cất dấu trị xuất xắc đối

Từ tư tưởng giá trị giỏi đối, ta có đặc điểm bất đẳng thức trị hoàn hảo như sau

° |x|≥ 0,|x|≥ x,|x|≥ -x

° với a>0:

|x|≤ 0⇔ -a≤ x≤ a

|x|≥ a⇔ x ≤ -a hoặc x ≥ a

° |a| – |b|≤ |a + b|≤ |a| + |b|

Bài tập vận dụng Bất đẳng thức

* bài xích 1 trang 79 SGK Đại Số 10:Trong các xác định sau, khẳng định nào đúng với tất cả giá trị của x?

a) 8x > 4x ; b) 4x > 8x

c) 8x2> 4x2; d) 8 + x > 4 + x

* Lời giải:

– Đáp án đúng:d) 8 + x > 4 + x

– bởi 8 > 4 nên với tất cả x thì 8+ x > 4+ x ( đặc thù cộng hai vế của BĐT với cùng 1 số). Nên khẳng định d là đúng với đa số giá trị của x.

Xem thêm: Phim Thần Bài Ngôn Phi M Thần Bài Ngôn Phi, Phim Chiếu Rạp: Mỹ Nhân

+ những đáp án không giống sai vì:

a) Ta có: 8 > 4 nên để 8x > 4x thì x > 0

– vị đó, chỉ đúng khi x > 0 (hay nói theo một cách khác nếu x 8x thì x 5, số nào trong những số sau đấy là số nhỏ tuổi nhất?

A=5/x; B=5/x + 1; C = 5/x – 1; D = x/5.

* Lời giải:

– với đa số x ≠ 0 ta luôn có: – 1

*

→ Vậy ta tất cả C 22

2) Từ đó suy ra: a2+ b2+ c222

– vày a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác buộc phải tổng 2 cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại. ⇒ a + c > b với a + b > c (Bất đẳng thức tam giác)

– Ta có:(b – c)2– a2= (b – c – a)(b – c + a)

Do b c⇒ b + a – c > 0.

Suy ra:(b – c – a)(b – c + a) 2– a222

2)Từ kết quả câu 1) ta có

a2> (b – c)2

b2> (a – c)2

c2> (a – b)2

– cùng vế cùng với vế bố bất đẳng thứctrênta có:

a2+ b2+ c2> (b – c)2+ (c – a)2+ (a – b)2

⇒ a2+ b2+ c2>b2– 2bc + c2+ c2– 2ca + a2+ a2– 2ab + b2

⇒ a2+ b2+ c2>2(a2+ b2+ c2) – 2(ab + bc + ca)

⇒ a2 + b2 + c2 3+ y3≥ x2y + xy2, ∀x, y ≥ 0

* Lời giải:

Với x ≥ 0; y ≥ 0 thì x + y ≥ 0

Ta có: x3+ y3≥ x2y + xy2

⇔ (x3+ y3) – (x2y + xy2) ≥ 0

⇔ (x + y)(x2– xy + y2) – xy(x + y) ≥ 0

⇔ (x + y)(x2– xy + y2– xy) ≥ 0

⇔ (x + y)(x2– 2xy + y2) ≥ 0

⇔ (x + y)(x – y)2≥ 0 (Luôn đúng vì x + y ≥ 0 ; (x – y)2≥ 0)

Dấu “=” xẩy ra khi (x – y)2= 0 ⇔ x = y.

* bài 5 trang 79 SGK Đại Số 10: Chứng minh rằng: 

*
*

+ Xét 0 ≤ t 33> 0 ; 1 – t > 0

t8– t5+ t2– t + 1 = t8+ (t2– t5) + (1 – t)= t8+ t2.(1 – t3) + (1 – t) > 0 + 0 + 0 = 0

(vì t8≥ 0; t2≥ 0 ⇒ t2(1 – t3) ≥ 0)

+ Xét t ≥ 1 ⇒ t3≥ 1 ⇒ t3– 1 ≥ 0 với t – 1 ≥ 0.

t8– t5+ t2– t + 1 = t5.(t3– 1) + t.(t – 1) + 1≥ 0 + 0 + 1 > 0

Vậy với tất cả t ≥ 0 thì t8 – t5 + t2 – t + 1 ≥ một nửa > 0 hay

*

Bài 6 trang 79 SGK Đại Số 10: Trong phương diện phẳng tọa độ Oxy, trên những tia Ox và Oy thứu tự lấy những điểm A cùng B biến hóa sao đến đường thẳng AB luôn tiếp xúc với mặt đường tròn trọng tâm O nửa đường kính 1. Xác định tọa độ của A và B nhằm đoạn AB tất cả độ dài nhỏ tuổi nhất.

Nổ hũ club online uy tín
game đổi thưởng uy tín gamedoithuong88
W88
| SUNCITYVN | win79 - Đánh bài online tiền thật trên mobile