Vô cùng bé (infinitesimal)

1. Định nghĩa:

Hàm $\alpha (x)$ được gọi là lượng vô nằm trong bé bỏng (infinitesimal – VCB) khi $x\to {{x}_{0}}$ nếu như $\underset{x\to {{x}_{o}}}{\mathop{\lim }}\,\alpha (x)=0$

Bạn đang xem: cac vcb be tuong duong can chu y

Ví dụ: $x^m$ , $sinx$ , ${\tan}x$ , $ln(1+x)$ , $1 - \cos x$ là những VCB khi $x\to 0$ .

Ta cũng có thể có định nghĩa VCB mang đến quy trình $x\to \infty$ thay cho quy trình $x\to {{x}_{0}}$ .

Quy ước: quy trình $x\to \infty$ thay cho $x\to {{x}_{0}}$ ta gọi công cộng là trong một quy trình.

2 Định lý:

Trong 1 quy trình, $f(x)\to L$ khi và chỉ khi ${\alpha}(x) = f(x) - L$ là VCB nhập quy trình bại liệt.

3 Tính chất: Trong 1 quá trình:

1. Nếu ${\alpha}(x)$ là VCB, C là hằng số thì $C.{\alpha}(x)$ là VCB.

2. Nếu ${{\alpha}_{1}}(x), {{\alpha}_{2}}(x), {{\alpha}_{3}}(x), ..., {{\alpha }_{n}}(x)$ là một số trong những hữu hạn những VCB thì tổng ${{\alpha }_{1}}(x)+$ ${{\alpha }_{2}}(x)+$ … + ${{\alpha }_{n}}(x)$ cũng chính là VCB.

3. Nếu $\alpha (x)$ là VCB và f(x) là hàm bị ngăn thì tích ${\alpha}(x).f(x)$ cũng chính là VCB.

4. So sánh nhị lượng VCB:

Cho f, g là nhị lượng VCB trong một quy trình.

Giả sử $\underset{x\to {{x}_{o}}}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{f(x)}{g(x)}= k$

Nếu k = 0 thì f là VCB bậc to hơn g. Ký hiệu: $f = {\theta}(g)$ (hoặc $f = 0(g)$ )

Nếu $k = {\pm}{\infty}$ thì g là VCB bậc to hơn f. Ký hiệu $g = {\theta}(f)$

Nếu $k \ne 0, k \ne \pm \infty$ thì f, g là nhị VCB nằm trong bậc. điều đặc biệt, nếu như k = 1 thì tớ phát biểu f, g là VCB tương tự. Ký hiệu: $f \sim g$

Nếu ko tồn bên trên số lượng giới hạn thì tớ phát biểu f , và g ko đối chiếu được cùng nhau .

Ví dụ:

1. $1-cosx , x^2$ là nhị VCB ngang cấp cho khi $x \to 0$ .

2. 1 – cosx là VCB cấp cho cao hơn nữa x khi $x \to 0$ .

Xem thêm: hiện tượng cộng hưởng chỉ xảy ra với

5. Các VCB bé bỏng tương tự cần thiết chú ý:

Nếu $x \to 0$ thì:

${\sin}x \sim x$ , ${\tan}x \sim x$ , $1 - \cos x \sim { \dfrac{1}{2}}x^2$ ; ${\arcsin}x \sim x$

$(e^x-1) \sim x$ , $ln(1+x) \sim x$ , $\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^a} - 1} \right] \sim ax$

6. Khử dạng vô định:

6.1 Tính hóa học 1:

Nếu $\underset{x\to {{x}_{o}}}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{f}{g}=k$ , $f \sim f_1; g \sim g_1$ thì $\underset{x\to {{x}_{o}}}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{{{f}_{1}}}{{{g}_{1}}}= k$

Chứng minh

Thật vậy: $\underset{x \to x_o}{\mathop{\lim}} \, \dfrac{f}{g} = \underset{x \to x_o}{\mathop{\lim}} \, { \dfrac{f}{f_1}}.{ \dfrac{f_1}{g_1}}.{ \dfrac{g_1}{g}} = \underset{x \to x_o}{\mathop{\lim}} \, { \dfrac{f_1}{g_1}}$

Ví dụ: $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{\ln (1+2x)}{{{e}^{3x}}-1}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{2x}{3x}= \dfrac{2}{3}$

6.2 Tính hóa học 2:

Nếu ${\alpha}(x) = \theta({\beta}(x))$ trong một quy trình thì ${\alpha}(x)+ {\beta}(x) \sim {\beta}(x)$ .

Như vậy tổng của nhị VCB tương tự với VCB sở hữu thấp cấp rộng lớn.

Ví dụ:

1. $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{1-\cos 5x}{{{\sin }^{2}}2x} \underset{=}{VCB} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{2}(5x)^2}{(2x)^2} = \dfrac{25}{8} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2}{x^2} = \dfrac{25}{8}$