chi square la gi

By Admin 10/11/2023 0

1. Khi nào là dùng χ2

Kiểm tra Chi-square (χ2) bao hàm cả bài đánh giá Chi-bình phương một khuôn về tính chất độc lập (One-sample Chi-square test of independence) và bài đánh giá Chi-bình phương nhì khuôn về tính chất đồng nhất (Twosample Chi-square test of homogeneity) là tương tự nhau về cả đo lường và tính toán và trình diễn giải.

Kiểm tra χ2 là 1 trong đánh giá tầm về nấc ý nghĩa sâu sắc so với sự link (association) đằm thắm nhì biến chuyển phân loại (categorical variables) Lúc tài liệu ở dạng điểm gia tốc và côn trùng quan hoài triệu tập nhập con số đối tượng người sử dụng với mọi loại không giống nhau. Độ đúng chuẩn được đánh giá tùy thuộc vào kiến thiết khuôn được dùng. Các gia tốc là để ý được nhập bảng 2 × 2 (‘2’ trước tiên cho biết thêm số mặt hàng nhập bảng và ‘2’ loại nhì cho biết thêm số cột). Hai kiến thiết lấy khuôn phổ cập là “kiểm tra χ2 về tính chất độc lập” (χ2 test of independence) với tổng số biên của mặt hàng và cột tình cờ và “kiểm tra χ2 về tính chất như nhau của tỷ lệ” (χ2 test of homogeneity of proportions) với tổng số biên của mặt hàng cố định và thắt chặt hoặc là cột cố định và thắt chặt.

Bạn đang xem: chi square la gi

(1) Kiểm tra χ2 một khuôn về tính chất song lập với tổng số biên của mặt hàng và cột ngẫu nhiên

Trong kiến thiết này, một khuôn tình cờ được lấy từ 1 số lượng dân sinh có một không hai của những đối tượng người sử dụng tuy nhiên với nhì thước đo cho từng đối tượng người sử dụng, này là những biến chuyển nhị phân mặt hàng và cột. Tổng cỡ khuôn, n, là cố định tuy nhiên những gia tốc nhập cả tổng số biên của mặt hàng và cột là tình cờ và ko được biết trước hoặc cố định và thắt chặt trước. Các tần số biên tình cờ tùy thuộc vào cơ hội từng đối tượng người sử dụng được phân loại bên trên cả nhì biến chuyển nhị phân. Nghĩa là, từng đối tượng người sử dụng sẽ tiến hành phân chia vào một trong những nhập tứ dù nhập bảng 2 × 2.

Ví dụ, một ngôi nhà phân tích khảo sát tầm quan trọng của nghề giáo dạy dỗ quan trọng nhập chở che trẻ nhỏ vướng triệu chứng tự động kỷ hoàn toàn có thể quan trọng quan hoài cho tới quan hệ đằm thắm thời hạn kinh nghiệm tay nghề với tư cơ hội là nghề giáo (biến cột) và xúc cảm phân phối của mình với tư cơ hội là nghề giáo (biến hàng). Một khuôn tình cờ có một không hai bao gồm 100 nghề giáo dạy dỗ quan trọng được lựa chọn từ 1 số lượng dân sinh những nghề giáo này. Những nghề giáo dạy dỗ quan trọng được đặt câu hỏi nhì câu hỏi: bọn họ đang được chở che trẻ nhỏ vướng triệu chứng tự động kỉ được bao lâu? (các câu vấn đáp được phân loại trở nên to hơn hoặc vì chưng 5 năm hoặc thấp hơn năm năm), và xúc cảm chủ yếu của mình với tư cơ hội nghề giáo là gì? (các câu vấn đáp được phân loại đa phần là dỗi lưu giữ hoặc đồng cảm). Giả thuyết phân tích là xúc cảm về tầm quan trọng của nghề giáo dạy dỗ quan trọng sở hữu tương quan cho tới thời hạn kinh nghiệm tay nghề thao tác làm việc. Giả thuyết vô hiệu là những biến chuyển mặt hàng và cột là song lập, này là tỷ trọng (số lượng) kỳ vọng ​​trong từng dù của bảng đột biến tiếp tục đều nhau và sẽ không còn không giống với con số để ý được. Nói một cơ hội tổng quát tháo rộng lớn, không tồn tại quan hệ đằm thắm thời hạn là nghề giáo và xúc cảm phân phối về tầm quan trọng của nghề giáo dạy dỗ quan trọng.

(2) Kiểm tra χ2 nhì khuôn về tính chất như nhau của tỷ trọng với tổng biên của mặt hàng (hoặc cột) được cố định

Thiết nối tiếp này được dùng nhằm đối chiếu sự phân phối của nhì tỷ trọng nhập nhì số lượng dân sinh song lập. Trong bảng đột biến 2 × 2, từng biến chuyển được xem như là nhị phân. Ví dụ: biến chuyển cột nhập bảng 2 × 2 hoàn toàn có thể thay mặt đại diện cho tới nhì quần thể song lập, nam giới và nữ giới, và biến chuyển mặt hàng (biến phản hồi) hoàn toàn có thể thay mặt đại diện cho tới sản phẩm đánh giá được phân loại là đã đạt được hoặc ko đạt. Nhà phân tích hoàn toàn có thể ham muốn khảo sát coi tỷ trọng ứng cử viên đạt sở hữu tương quan cho tới nam nữ hay là không. Ví dụ: một khuôn tình cờ song lập bao gồm 50 nam giới và một khuôn tình cờ riêng lẻ bao gồm 50 nữ giới sẽ tiến hành lựa chọn. Tổng cột của nam giới và nữ giới nhập ví dụ này được cố định vì chưng ngôi nhà phân tích. Mỗi nam giới và nữ giới sẽ tiến hành phân loại trở nên một loại đạt hoặc ko đạt, tổng số biên của mặt hàng là tình cờ (không được ngôi nhà phân tích cố định) và hoàn toàn có thể Chịu sai số khuôn. Nếu tỷ trọng ứng cử viên “đạt” được biểu thị vì chưng P.., thì tỷ trọng ko đạt được xem là 1-P (biến là nhị phân). Giả thuyết vô hiệu được xem là tỷ trọng số lượng dân sinh (hoặc phần trăm) của nam giới và nữ giới băng qua kỳ ganh đua là đều nhau, hoặc phát biểu một cách tiếp theo là không tồn tại sự khác lạ đằm thắm nam giới và nữ giới về tỷ trọng Xác Suất băng qua kỳ ganh đua. Một dạng tổng quát tháo rộng lớn của fake thuyết vô hiệu này là không tồn tại quan hệ đằm thắm nam nữ và kết quả ganh đua.

2. Suy luận tổng hợp và fake thuyết vô hiệu

Suy luận tổng hợp là về gia tốc, nhập cơ con số những để ý nằm trong một loại rõ ràng nhập một group là được đối chiếu với tỷ trọng những để ý nằm trong và một loại kể từ group cơ.

  • Các group hoàn toàn có thể chỉ cho tới nhì luật lệ đo song lập từ 1 số lượng dân sinh hoặc cho tới nhì số lượng dân sinh song lập đã và đang được lựa chọn tình cờ. Ví dụ, nhập một phân tích về tác dụng của công tác trí tuệ tích vô cùng tới sự thỏa sức tự tin của SV (sự thỏa sức tự tin tiếp xúc tăng thêm / ko tăng lên), đánh giá χ2 một khuôn về tính chất song lập sẽ tiến hành dùng với kiến thiết này nhằm phân phát hiện tại ngẫu nhiên côn trùng contact nào là đằm thắm sự thỏa sức tự tin và nam nữ hay là không.
  • Các group cũng hoàn toàn có thể nhắc đến nhì số lượng dân sinh song lập, ví dụ, nhập một phân tích về quan hệ đằm thắm nam nữ và kết quả ganh đua, nhì group học viên cố định và thắt chặt bao gồm 50 nam giới và 50 nữ giới sẽ tiến hành lựa chọn (biến cột), sau này được phân loại trở nên group đạt và ko đạt (biến hàng). Với kiến thiết khuôn này, đánh giá χ2 nhì khuôn về sự việc như nhau của những tỷ trọng sẽ tiến hành dùng nhằm đánh giá sự khác lạ đằm thắm tỉ trọng nam giới và nữ giới băng qua kỳ ganh đua.

Đối với đánh giá χ2 một khuôn về tính chất song lập, những thông số được dự trù là tỷ trọng của từng dù của bảng 2 × 2 nhập số lượng dân sinh. Giả thuyết phân tích là những biến chuyển mặt hàng và cột tương tác cùng nhau, tức là bọn chúng ko song lập và tỷ trọng để ý được nhập tứ dù là không giống nhau.

Tương tự động, so với đánh giá χ2 nhì khuôn về tính chất như nhau của những tỷ trọng, những thông số được dự trù là tỷ trọng của từng dù của bảng 2 × 2 nhập số lượng dân sinh. Giả thuyết phân tích là việc phân phối tỷ trọng (cho một biến chuyển phân loại) là không giống nhau nhập nhì số lượng dân sinh (biến phân loại cơ với tổng biên cố định).

Giả thuyết vô hiệu cho tất cả χ2 một khuôn và nhì khuôn là không tồn tại quan hệ trong số những biến chuyển cột và mặt hàng. Nếu fake thuyết vô hiệu là trúng, tỷ trọng tứ dù tiếp tục đều nhau và không tồn tại sự khác lạ đáng chú ý đằm thắm gia tốc dù để ý được và tần số dù kỳ vọng.

Phân phối χ2 là được xác lập trọn vẹn vì chưng một thông số có một không hai, bậc tự tại (df). Bất cứ lúc nào tất cả chúng ta Đánh Giá tổng hợp χ2, tất cả chúng ta cần thiết kiểm tra df tương thích. Trong số đó, df = (số mặt hàng − 1) × (số cột − 1) và bởi vậy luôn luôn là độ quý hiếm ‘1’ nhập bảng 2 × 2. Kiểm tra χ2 và df cung ứng một phần trăm cho việc khác lạ trong số những gia tốc để ý được và gia tốc kỳ vọng. Khi gia tốc để ý và gia tốc kỳ vọng y chang nhau, tổng hợp χ2 tiếp tục vì chưng ko. Với ngẫu nhiên phỏng chênh chếch nào là, độ quý hiếm χ2 càng rộng lớn thì ý nghĩa sâu sắc tổng hợp càng rộng lớn.

3. Các giả thiết đánh giá (Test Assumptions)

Các giả thiết cơ phiên bản của tất cả đánh giá χ2 về tính chất song lập và tính như nhau cho tới bảng 2 × 2 là:

  1. Các để ý là thay mặt đại diện vượt trội của những số lượng dân sinh quan hoài.
  2. Dữ liệu ở dạng điểm gia tốc để ý.
  3. Các để ý nên song lập, tức là, một để ý rớt vào ngẫu nhiên mặt hàng rõ ràng nào là của bảng đột biến ko tùy thuộc vào cột nó ở nhập (và ngược lại).
  4. Các để ý nên làm rơi vào một trong những dù của bảng đột biến.
  5. Kiểm tra χ2 tránh việc được dùng Lúc ngẫu nhiên gia tốc dù kỳ vọng ​​nào là nhỏ. Tần số kỳ vọng nhỏ là điểm yếu kém phổ cập nhất trong những công việc dùng đánh giá Chi-square (nghĩa là dùng sai Chi-bình phương). Giá trị kỳ vọng của 5 là số lượng giới hạn thấp nhất vô cùng. Khi độ dài rộng khuôn tổng là ≥20, thì gia tốc kì vọng ​trong một hoặc nhì dù hoàn toàn có thể thấp cho tới 1 hoặc 2. Nhưng Chi-square là 1 trong tiến độ mạnh mẽ và uy lực và gia tốc dù kỳ vọng ​​< 5 ko tác động cơ phiên bản cho tới tỷ trọng lỗi Loại I. Quan điểm cộng đồng nhường nhịn như thể những gia tốc kỳ vọng nhỏ là hoàn toàn có thể gật đầu được nhập tối thiểu một hoặc nhì dù với ĐK độ dài rộng khuôn tổng thể ≥20. Hiệu chỉnh của Yate’s (1934) cho tới tính liên tiếp (bằng cơ hội thêm 0.5 nhập tần số dù được quan lại sát) được dùng với độ dài rộng khuôn nhỏ nhập bảng 2 × 2. Các biến chuyển nhập bảng đột biến là rời rộc tuy nhiên χ2 là phân phối liên tiếp, bởi vậy việc thêm 0.5 vào cụ thể từng tần số dù để ý được cho rằng tiếp tục nâng cấp luật lệ xấp xỉ χ2. Nói cộng đồng, luật lệ hiệu chỉnh này sẽ không nên bên trên hạ tầng lý thuyết nhưng mà dựa vào phần mềm của chính nó vì như thế nó hoàn toàn có thể dẫn theo việc rơi rụng mối cung cấp ko quan trọng. Với cỡ khuôn nhỏ, nên dùng luật lệ test đúng chuẩn của Fisher (Fisher, 1935) (vui lòng hiểu đánh giá Fisher).

4. Thủ tục đánh giá χ2

Ví dụ, một ngôi nhà phân tích cần thiết Đánh Giá coi nam nữ và hiến huyết tự động nguyện của SV ĐH sở hữu mối quan hệ cùng nhau ko. Một tập luyện tài liệu bao gồm 50 SV được tích lũy. Biến nam nữ được chia thành những nấc độ quý hiếm 1 = nam giới, 2 = nữ giới, và biến chuyển hiến huyết tự động nguyện (bạn từng nhập cuộc hiến huyết tự động nguyện chưa?) được chia thành những nấc độ quý hiếm 1= yes (có), 2 = no (không).

Giả thuyết tổng hợp H0: Không sở hữu quan hệ đằm thắm nguyên tố nam nữ và sự hiến huyết tự động nguyện của những sinh viên? Mức alpha được lựa chọn là 5%.

Kiểm tra χ2 đối chiếu tần số điểm được trong những dù nhập bảng đột biến với tần số điểm kỳ vọng ​​cho từng dù (chúng tao nên dự trù tần số kỳ vọng). Số lượng dù kỳ vọng ​​được ước tính theo gót giả thiết rằng fake thuyết vô hiệu là trúng, tức là không tồn tại sự link trong số những biến chuyển mặt hàng và cột.

Giá trị χ2 được xem cho từng dù nhập bảng đột biến được xem theo gót công thức:

Trong cơ, O là gia tốc dù để ý được, E là gia tốc dù kì vọng.

Dữ liệu tham khảo điểm gia tốc được trình diễn nhập bảng bên dưới đây:

Các bước đánh giá χ2:

Bước 1: Tính độ quý hiếm kì vọng cho từng dù kể từ A cho tới D

  • ô A: EA= (25×30)/50 = 15
  • ô B: EB= (25×30)/50 = 15
  • ô C: EC= (25×20)/50 = 10
  • ô D: ED= (25×20)/50 = 10

Bước 2: Tính độ quý hiếm χ2 cho từng dù kể từ A cho tới D

  • ô A: χ2 = (18 – 15)2/ 15 = 0.6
  • ô B: χ2 = (12 – 15)2/ 15 = 0.6
  • ô C: χ2 = (7 – 10)2/ 10 = 0.9
  • ô D: χ2 = (13 – 10)2/ 10 = 0.9

Bước 3: Tính tổng toàn bộ χ2

Tổng χ2 = 0.6 + 0.6 + 0.9 + 0.9 = 3.00

Cách tư duy kết quả: Để Đánh Giá ý nghĩa sâu sắc tổng hợp của tổng hợp χ2 được ước tính phía trên, tất cả chúng ta cần thiết đo lường và tính toán bậc tự tại tương thích cho tới bảng đột biến, ở trên đây df = 1. Tra bảng phân phối những độ quý hiếm χ2 cho tới hạn (vui lòng coi bảng phân phối χ2), nấc alpha được lựa chọn trước tiên là p≤0.05, độ quý hiếm χ2 cho tới hạn là 3.841, là gửi gắm điểm của cột alpha ở 0.05 và mặt hàng df là 1 trong. Vì độ quý hiếm χ2 được đo lường và tính toán (3.00) nhỏ rộng lớn độ quý hiếm χ2 cho tới hạn (điều sẽ tiến hành mong ngóng theo gót fake thuyết vô hiệu là ko tương tác trong số những biến chuyển mặt hàng và cột) nên tất cả chúng ta ko thể bác bỏ vứt fake thuyết vô hiệu và Kết luận rằng nhì biến chuyển số, sự hiến huyết tự động nguyện và nam nữ là ko tương quan cùng nhau. Mặc cho dù tỷ trọng phái nam của 60% (18/30 × 100) đối với phái đẹp 40% (12/30 × 100) sở hữu sự khác lạ một chút, tuy nhiên sự khác lạ này là không tồn tại ý nghĩa sâu sắc tổng hợp ở tại mức ý nghĩa sâu sắc p≤0.05, đồng nghĩa với việc sự hiến huyết tự động nguyện và nam nữ là ko tương quan cùng nhau.

Xem thêm: cạnh tranh tiếng anh

5. Kiểm tra χ2 nhập SPSS

Trong SPSS, tất cả chúng ta triển khai theo gót tiến bộ trình sau:

Bước 1. Vào Analyze > Descriptives Statistics > Crosstabs…

Bước 2. Tại hành lang cửa số Crosstabs, trả biến chuyển nam nữ (sex) nhập dù Row(s) và biến chuyển hiến huyết tự động nguyện (hienmau) nhập dù Column(s). Chúng tao hoàn toàn có thể nhấp nhập dù Display clustered bar charts nhằm hiện tại đồ vật thị quan hệ nhì biến chuyển.

Bước 3. Nhấp nhập tùy lựa chọn Statistics, lựa chọn nhập Chi-square, Phi and Cramer’s V. Sau cơ nhấp Continue.

Bước 4. Nhấp nhập tùy lựa chọn Cells, lựa chọn Observed, Expected và Total như nhập hình. Về ý nghĩa sâu sắc thì Observed là con số thực tiễn để ý, Expected là con số kì vọng, Total là tổng Xác Suất theo gót từng loại và từng cột. Nếu cần thiết hiển thị tăng độ quý hiếm % của những dù, tất cả chúng ta chọn lựa thêm Row và Column. Nhấp nhập Continue.

Bước 5. Nhấp nhập OK nhằm chạy kết quả

Đọc bảng kết quả:

Trong bảng Giới tính * Hiến huyết tự động nguyện? Crosstabulation, những độ quý hiếm ở dù red color là độ quý hiếm thực tiễn để ý được. Ví dụ, sở hữu 18 SV nam giới nhập cuộc hiến huyết tự nguyện. Tương tự động, sở hữu 7 SV nữ giới nhập cuộc hiến huyết tự nguyện. Các độ quý hiếm ở dù blue color là độ quý hiếm kì vọng.  Ví dụ, sở hữu 15 SV nam được kì vọng hiến huyết tự động nguyện. Có 10 SV nữ giới được kì vọng hiến huyết tự nguyện. Ý nghĩa của độ quý hiếm kì vọng (expected), cơ là lúc sở hữu fake thiết nam nữ và hiến huyết tự động nguyện không tồn tại mối quan hệ cùng nhau. Thì phần trăm xuất hiện tại của nam nữ và sự hiến huyết tự động nguyện là song lập nhau.

Bảng sản phẩm cần thiết nhất là Chi-square test. Kiểm quyết định Chi-bình phương chỉ mất ý nghĩa sâu sắc Lúc số để ý đầy đủ rộng lớn, nếu như sở hữu nhiều hơn thế 20% số dù nhập bảng đột biến sở hữu gia tốc kỳ vọng (expected) nhỏ rộng lớn 5 thì độ quý hiếm chi-square không hề uy tín. Cuối bảng Chi-Square Tests (ô màu sắc xanh) luôn luôn thể hiện một loại thông tin cho mình biết sở hữu từng nào % số dù sở hữu gia tốc mong ngóng expected value bên dưới 5 của bảng. Nếu bên trên 20% chúng ta nên tính cho tới những giải pháp không giống, như thể sử kiểm quyết định Fisher’s exact test.

Có 3 độ quý hiếm cần thiết lưu ý: độ quý hiếm χ2 là 3.00, độ quý hiếm bậc tự tại df là 1 trong, độ quý hiếm sig. là 0.083. Do sig. > 0.05 nên sở hữu dẫn chứng đã cho thấy nhì biến chuyển nam nữ và sự hiến huyết tự động nguyện là song lập cùng nhau.

Còn nếu như sig. <5% thì sở hữu dẫn chứng đã cho thấy nhì biến chuyển này sẽ không song lập cùng nhau. Giả sử, nếu như độ quý hiếm sig. ý nghĩa tổng hợp (p≤0.05), tất cả chúng ta nối tiếp tra bảng phân phối χ2 với bậc tự tại là 1 trong df. Trong ví dụ này, vì như thế độ quý hiếm χ2 cho tới hạn là 3.841 to hơn độ quý hiếm χ2 được đo lường và tính toán (3.00) nên tất cả chúng ta ko thể bác bỏ vứt fake thuyết vô hiệu và Kết luận rằng nhì biến chuyển số, sự hiến huyết tự động nguyện và nam nữ là ko tương quan cùng nhau.

Giả sử, nếu như nhì biến chuyển này còn có quan hệ cùng nhau, tất cả chúng ta tiếp tục cần thiết Đánh Giá cường độ link đằm thắm nhì biến chuyển qua loa độ quý hiếm của thông số Phi và Cramer’s V. Hệ số Phi chỉ tương thích nhằm kiểm tra quan hệ đằm thắm 2 biến chuyển nhưng mà từng biến chuyển chỉ mất 2 độ quý hiếm, nếu như một trong những nhì biến chuyển sở hữu kể từ 3 độ quý hiếm trở lên trên tất cả chúng ta tiếp tục người sử dụng sản phẩm của Cramer’s V. Giả sử nhập ví dụ bên trên, tất cả chúng ta tiếp tục dùng thông số Phi, độ quý hiếm này là 0.083, tức 8.3%, như thế nhì biến chuyển này đối sánh tương quan thấp.

Trong phân tích, kiểm quyết định χ2 (hay hoàn toàn có thể gọi là đánh giá Crosstab) thông thường được phần mềm nhiều Lúc tất cả chúng ta cần thiết phân tách thâm thúy rộng lớn quan hệ trong số những Đặc điểm nhân khẩu học tập của những người vấn đáp, hoặc phân trò trống link trong số những nguyên tố tâm lí dạy dỗ.

6. Ý nghĩa của thông số Phi và Cramer’s Phi

Kiểm quyết định χ2 nhạy bén với cỡ khuôn và gần như là luôn luôn trực tiếp ý nghĩa với những khuôn rộng lớn. Kiểm quyết định χ2 Đánh Giá ý nghĩa sâu sắc tổng hợp của một link chứ không cần nên sức khỏe của link. Do cơ, tổng hợp loại đối sánh tương quan được đòi hỏi nhằm xác lập phỏng mạnh mẽ của ngẫu nhiên côn trùng link ý nghĩa tổng hợp nào là được phân phát hiện tại vì chưng tổng hợp χ2. Hai nhập số những thước đo link hữu ích nhất được dùng là: Φ, (Hệ số Phi) và Hệ số Cramer’s V (đôi Lúc được gọi là Cramer’s Phi).

Xem thêm: ảnh nam anime ngầu

Phi nên làm được dùng thực hiện thước đo phỏng mạnh mẽ của link Lúc cả nhì biến chuyển đều là nhị phân. Phi sở hữu số lượng giới hạn bên dưới là 0, tức là không tồn tại phỏng mạnh link (các biến chuyển ko liên quan) và số lượng giới hạn bên trên là 1, phỏng mạnh tối nhiều của link (các biến chuyển sở hữu đối sánh tương quan trả hảo). Khi một bảng đột biến sở hữu nhiều hơn thế tứ dù thì nên dùng Cramer’s V nhằm đo độ tốt của link. Tương tự động như Phi, phạm vi của tổng hợp này thay cho thay đổi kể từ 0 cho tới 1.

Trong cơ, n là tổng độ dài rộng khuôn, j là số nhỏ nhất của mặt hàng hoặc cột nhập bảng đột biến.

Tài liệu tham ô khảo

  1. Coolican, H. (2018). Research methods and statistics in psychology. Routledge.
  2. Hanneman, R. A., Kposowa, A. J., & Riddle, M. D. (2012). Basic statistics for social research (Vol. 38). John Wiley & Sons.
  3. Jackson, S. L. (2015). Research methods and statistics: A critical thinking approach. Cengage Learning.
  4. McQueen, R. A., & Knussen, C. (2006). Introduction to lớn research methods and statistics in psychology. Pearson education.
  5. Peers, I. (2006). Statistical analysis for education and psychology researchers: Tools for researchers in education and psychology. Routledge.
  6. Wagner III, W. E. (2019). Using IBM® SPSS® statistics for research methods and social science statistics. Sage Publications.