định lý cos

Bách khoa toàn thư hé Wikipedia

Hình 1 – Một tam giác với những góc α (hoặc A), β (hoặc B), γ (hoặc C) theo lần lượt đối lập với những cạnh a, b, c.
Lượng giác
  • Khái quát
  • Lịch sử
  • Ứng dụng
  • Hàm
    • Hàm ngược
Tham khảo
  • Đẳng thức
  • Giá trị quánh biệt
  • Bảng
  • Đường tròn trĩnh đơn vị
Định lý
  • Sin
  • Cos
  • Tang
  • Cotang
  • Pythagoras
Vi tích phân
  • Phép thế lượng giác
  • Tích phân
    • Hàm nghịch ngợm đảo
  • Đạo hàm
  • x
  • t
  • s

Trong lượng giác, Định lý cos (hay công thức cosine, luật cosine hoặc Định lý al-Kashi[1]) màn trình diễn sự tương quan đằm thắm chiều lâu năm của những cạnh của một tam giác với cosin của góc ứng. Sử dụng những kí hiệu nhập Hình 1, tớ hoàn toàn có thể tuyên bố định lý cos bên dưới dạng công thức như sau:

Bạn đang xem: định lý cos

Định lý cos được màn trình diễn tương tự động mang đến nhị cạnh còn lại:

Định lý cos là tình huống tổng quát lác của tấp tểnh lý Pythagoras khi tuy nhiên tấp tểnh lý này chỉ đúng trong những tam giác vuông, khi tuy nhiên góc γ là 1 trong góc vuông, kể từ cơ dẫn cho tới và làm cho định lý cos suy biến đổi phát triển thành tấp tểnh lý Pythagoras:

Định lý này được dùng nhằm tính một cạnh không biết của tam giác - lúc biết được nhị cạnh sót lại và góc đối cạnh cơ.

Hình 2 – Tam giác tù ABC với đàng cao BH

Ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Hình 3 – Ứng dụng của định lý cos: thám thính cạnh không biết và góc không biết.

Định lý cos được sử dụng nhập luật lệ đạc tam giác nhằm giải một tam giác hoặc một đàng tròn trĩnh. Ví dụ nhập Hình 3, định lý cos được dùng để làm tìm:

  • cạnh loại tía của một tam giác nếu như vẫn biết nhị cạnh sót lại và góc đằm thắm chúng:
  • ba góc nếu như biết tía cạnh của tam giác
  • cạnh loại tía nếu như biết nhị cạnh sót lại và góc đối lập một trong những nhị cạnh đó:

Công thức loại tía giành được nhờ giải phương trình bậc nhị a2 − 2ab cos γ + b2c2 = 0 với ẩn a. Phương trình này còn có nhị nghiệm dương nếu như b sin γ < c < b, một nghiệm dương nếu như cb hoặc c = b sin γ, và vô nghiệm nếu như c < b sin γ.

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Sử dụng công thức tính khoảng tầm cách[sửa | sửa mã nguồn]

Trong hệ tọa chừng Descartes, mang đến tam giác ABC đem tía cạnh a, b, cγ là góc đối lập cạnh c với tọa chừng tía đỉnh theo lần lượt là

Sử dụng công thức tính khoảng cách, tớ có

do đó

Công thức này dùng được cả tình huống tam giác nhọn và tam giác tù.

Sử dụng công thức lượng giác[sửa | sửa mã nguồn]

Hình 4 - Tam giác nhọn và đàng cao

Hạ đàng cao ứng với cạnh c như hình 4 tớ có

(Công thức bên trên vẫn đích nếu như α hoặc β là góc tù, khi cơ đàng cao ở ngoài tam giác và cos α hoặc cos β đem lốt âm). Nhân nhị vế với c tớ được

Tương tự động tớ đem

Cộng vế theo dõi vế nhị phương trình sau tớ đem

Trừ vế theo dõi vế phương trình đầu tớ đem

Xem thêm: tâm trạng mị trong đêm tình mùa xuân

đơn giản còn

Sử dụng tấp tểnh lý Pytago[sửa | sửa mã nguồn]

Hình 5 – Tam giác tù ABC với đàng cao BH

Trường ăn ý tam giác tù. Euclid minh chứng đinh lý bằng phương pháp vận dụng Định lý Pytago mang đến nhị tam giác vuông nhập Hình 5. Đặt CH = dBH = h, nhập tam giác AHB tớ đem

và nhập tam giác CHB tớ đem

Khai triển nhiều thức phương trình đầu tiên:

thế phương trình loại nhị vào:

Đây là mệnh đề 12 của Euclid nhập tập luyện 2 của cục Cơ sở.[2] Chú ý rằng

Trường ăn ý tam giác nhọn. Được minh chứng nhập mệnh đề 13 của Euclid ngay lập tức sau mệnh đề 12: ông vận dụng Định lý Pytago mang đến nhị tam giác vuông giành được bằng phương pháp kẻ đàng cao ứng với một trong những nhị cạnh kề góc γ và giản dị vì như thế nhị thức.

Hình 6 – Chứng minh vì như thế lượng giác nhập tình huống tam giác nhọn

Cách không giống nhập tình huống tam giác nhọn. Dựa nhập Hình 6 tớ có:

với Note rằng

Cũng kể từ Hình 6 tớ có:

Công thức này được dùng để làm tính một góc lúc biết nhị cạnh và góc xen đằm thắm nhị cạnh cơ.

Sử dụng tấp tểnh lý Ptolemy[sửa | sửa mã nguồn]

Chứng minh định lý cos vì như thế tấp tểnh lý Ptolemy

Vẽ đàng tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác ABC. Dựng tam giác ABD vì như thế tam giác ABC với AD = BCBD = AC. Hạ đàng cao kể từ DC, tách AB theo lần lượt bên trên EF. Ta có:

Áp dụng tấp tểnh lý Ptolemy mang đến tứ giác nội tiếp ABCD:

Xem thêm: giá net là gì

Trong tam giác cân[sửa | sửa mã nguồn]

Trong tam giác cân nặng, tự nên , tấp tểnh lí cos trở thành:

hay

Sự tương đương nhập hình tứ diện[sửa | sửa mã nguồn]

Cho một tứ diện với α, β, γ, δ là diện tích S tư mặt mày của tứ diện cơ. Ký hiệu những góc nhị diện là và tương tự động, tớ có[3]

Định lý cos nhập hình học tập phi Euclid[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Phép đạc tam giác
  • Định lý sin
  • Định lý tang
  • Định lý cotang
  • Công thức Mollweide
  • Công thức nửa cạnh
  • Đẳng thức lượng giác

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Pickover, Clifford A. (2009). The math book. Thủ đô New York, NY. ISBN 978-1-4027-5796-9. OCLC 262694306.
  2. ^ Java applet version by Prof. D E Joyce of Clark University.
  3. ^ Casey, John (1889). A Treatise on Spherical Trigonometry: And Its Application to lớn Geodesy and Astronomy with Numerous Examples. London: Longmans, Green, & Company. tr. 133.