HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG LỚP 9

Hệ thức lượng trong tam giác vuông là kiến thức hình học nâng cao hơn liên quan đến công thức lượng giác. Với học sinh lớp 9, có lẽ phần kiến thức này sẽ là nền tảng cơ bản để có thể bước lên cấp 3. Hệ thức lượng giác bao gồm những phần kiến thức cơ bản nào? Ghi nhớ những gì để vận dụng tốt hơn? 

Nếu bạn đang muốn tìm tài liệu cho phần kiến thức này, thì ở bài viết bên dưới đây chúng tôi sẽ chia sẻ lượng kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông đầy đủ nhất cho bạn, để có thể giúp bạn nhiều hơn trong học tập.

Bạn đang xem: Hệ thức lượng trong tam giác vuông lớp 9

Hệ thức lượng trong tam giác vuông phần kiến thức quan trọng lớp 9 bạn cần nắm

Mục lục

Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Cho ΔABC, góc A bằng 90 độ, AH ⊥ BC, AB = c, AC = b, BC = a, AH = h thì:

+ BH = c’ được gọi là hình chiếu của AB xuống BC

+ CH = b’ được gọi là hình chiếu của AC xuống BC

Khi đó, ta có:

1) (AB)^2 = BH.BC hay c^2 = a.c’

(AC)^2 = CH.BC hay b^2 = a.b’

2) (AH)^2 = CH.BH hay h^2 = b’.c’

3) AB.AC = AH.BC hay b.c = a.h

5) (AB)^2 + (AC)^2 = (BC)^2 hay b^2 + c^2 = a^2 (Định lý Pytago)

Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Định nghĩa

Định lí

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia.

a) Cho α,β là hai góc nhọn. 

Nếu α cosβ; cotα > cotβ

b) sinα

Hệ thức cơ bản

Tổng kết ghi nhớ

Công thức, hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

– Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề

– Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc cot góc kề

b = a.sinB = a.cosC

c = a.sinC = a.cosB

b = c.tanB = c.cotC

c = b.tanB = b.cotC

Bạn có thể tham khảo bài học về Hệ thức lượng trong tam giác vuông tại đây:

Bài tập ví dụ

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB

Bài giải:

Ta có: (AH)^2 = BH.CH ⇒ BH.CH = 36

Mặt khác: CH – BH = 3.5 (1)

⇒ (CH – BH)^2 = 3.52 = 12.25

Ta có: (CH + BH)^2 = (CH – BH)^2 + 4BH.CH = 12.25 + 4.36 = 156.25

⇒ CH + BH = √156.25 = 12.5 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ CH = 8; BH = 4.5

Ta có: AB^2 = BH.BC = 4.5.12.5 = 56.25 ⇒ AB = 7.5 (cm)

AC^2 = CH.BC = 8.12.5 = 100 ⇒ AB = 10 (cm)

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E là hình chiếu của H trên AB và AC. Đặt BC = a; CA = b; AB = c; AH = h; BD = x; CE = y. Chứng minh rằng:

a) (a^2).x = c^3; (a^2).y = b^3b) a.x.y = h^3

Bài giải:

a) Đặt BH = c’; CH = b’

Xét ΔBDH và ΔBAC có:

 ⇒ a.x = c.c’

⇒ a.a.x = a.c.c’ hay (a^2).x = a.c.c’

Mặt khác a.c’ = c^2 nên (a^2).x = c.(c^2) ⇒ (a^2).x = c^3

Chứng minh tương tự, ta được (a^2).y = b^3

b) Ta có: (a^2).x.(a^2).y = c^3.b^3

Lại có: b.c = a.h nên a^4.xy = a^3.h^3

⇒ a.xy = h3

Bài tập 3. Góc nhọn

Cho tam giác ABC, Góc ABC lớn hơn 0 độ và nhỏ hơn 90 độ. Chứng minh diện tích tam giác ABC = 1/2.(AB.BC.SinB)

Bài giải:

Kẻ AH vuông góc với BC, H ∈ BC

Ta có: SABC = 1/2.AH.BC (1)

Xét tam giác ABH vuông tại H có:

sinB = AH/AB ⇒ AH = AB.sinB (2)

Từ (1) và (2),ta có S = 1/2.(AB.BC.SinB)

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Biết AB : AC = 3 : 4 và AB + AC = 21 cm.

Tính các cạnh của tam giác ABC . 

Bài giải:

Theo giả thiết: AB : AC = 3 : 4 => suy ra AB/3 = AC/4 = (AB + AC)/(3 + 4)

Do đó AB = 3 x 3 = 9 cm; AC = 3 x 4 = 12 cm. 

Tam giác ABC vuông tại A , theo định lý Pythagore ta có: (BC)^2 = (AB)^2 + (AC)^2 = (9^2). (12^2) = 225 cm , suy ra BC = 15 cm . 

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = x, AC = y, AH = 2, BC = 5. Cạnh nhỏ nhất của tam giác này có độ dài là?

Bài giải:

Ta có: x^2 + y^2 = 5^2 = 25 và x.y = 5.2 = 10 (*)

⇒ (x + y)^2 = 45 ⇒ x + y = 3√5 ⇒ x = 3√5 – y

Thay vào (*) ta được:

(3√5 – y)y = 10 ⇔ y = √5; y = 2√5

⇒ x = 2√5; x = √5

Vậy cạnh nhỏ nhất của tam giác là √5.

Xem thêm: #1 Lịch Thi Đấu Lpl Mùa Xuân 2020 Mới Nhất, LịCh Thi đÁº¥U Lpl Mã¹A Xuã¢N 2021

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = AC = y, AH = 5, BH = CH = x. Xác định x và y.

Bài giải:

Ta có: AH^2 = BH.CH ⇒ 5^2 = x^2 ⇒ x = 5

AB.AC = AH.BC ⇔ y^2 = 5.10 ⇔ y = 5√2

Bài 7: Cho tam giác ABC có góc B bằng 450, góc C bằng 300. Nếu AC = 8 thì AB bằng bao nhiêu?

Bài giải:

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC

Xét tam giác AHC vuông tại H, góc ACH bằng 30 độ có:

AH = AC.sin⁡30 = 4 (cm)

Xét tam giác AHB vuông tại H, góc ABH bằng 45 độ có:

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại C có sin⁡A = 2/3 thì tan B bằng bao nhiêu?

Bài giải: Tam giác ABC vuông tại C có sin⁡A = 2/3

sin2 A + cos2 A = 1 ⇒ cos⁡A = √5/3

Do góc A cộng góc B bằng 900 nên

cosB = sinA = 2/3; sin⁡B = cos⁡A = √5/3

Bài 9: Cho tam giác ABC, góc A bằng 600, đường phân giác AD. Chứng minh rằng:

Ta có: SABC = SABD + SADC

Bài 10: Cho tam giác nhọn ABC, điểm D thuộc cạnh BC sao cho AD = BC. Chứng minh rằng sinA ≥ sinB.sinC.

Bài giải:

Vẽ AH vuông góc với BC

Gọi S là diện tích tam giác ABC

Xét các tam giác ABH và ACH vuông tại H, ta có:

AH = AB.sin⁡B = AC.sin⁡C

⇒ (AH)^2 = AB.AC.sin⁡B.sin⁡C

Ta có: AD ≥ AH (dấu bằng xảy ra khi D ≡ H)

Do đó: BC ≥ AH ⇔ BC.AH ≥ (AH)^2 = AB.AC.sin⁡B.sin⁡C (1)

Mặt khác, ta có: BC.AH = 2S = 2.1/2 AB.AC.sinA (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AB.AC.sinA ≥ AB.AC.sin⁡B.sin⁡C

Hay sinA ≥ sin⁡B.sin⁡C

Dấu bằng xảy ra khi D trùng với H.

Hy vọng với nội dung lý thuyết về hệ thức lượng trong tam giác vuông mà onfire-bg.com chúng tôi chia sẻ, bạn có thể ghi nhớ và vận dụng tốt hơn vào những dạng bài tập khác nhau. Kiến thức về toán học luôn tạo ra cho bạn một tư duy logic, một sự nhanh nhẹn, khơi gợi sự tò mò về những điều chưa biết đầy thú vị. Hãy bắt đầu với những kiến thức cơ bản như hệ thức lượng trong tam giác vuông bằng những bài tập ví dụ như ở trên bạn nhé.