Ma trận chuyển vị

Bách khoa toàn thư hé Wikipedia

Trong đại số tuyến tính, ma trận gửi vị (tiếng Anh: transpose) là một trong những ma mãnh trận nhưng mà ở cơ những mặt hàng được thay cho thế vày những cột, và ngược lại. Để đã có được ma mãnh trận gửi vị, tất cả chúng ta rất có thể dùng toán tử lật ma mãnh trận theo đuổi đàng chéo cánh chủ yếu của chính nó. Ma trận gửi vị của ma mãnh trận A được ký hiệu là A^T.^[1]^[2]

Bạn đang xem: ma tran chuyen vi la gi

Ma trận gửi vị được trình làng nhập năm 1858 vày ngôi nhà toán học tập người Anh Arthur Cayley.^[3]

Chuyển vị của ma mãnh trận[sửa | sửa mã nguồn]

Lưu ý rằng nội dung bài viết này giả thiết rằng những ma mãnh trận được lấy bên trên một khoanh giao phó hoán. Những sản phẩm này rất có thể ko lưu giữ nhập tình huống ko giao phó hoán.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Chuyển vị của ma mãnh trận A, ký hiệu A^T,^[1]^[4] ^⊤A, A^⊤, ,^[5]^[6] A′,^[7] A^tr, ^tA hoặc A^t, rất có thể được kiến tạo vày những cách thức sau đây:

Phản xạ A bên trên đàng chéo cánh chủ yếu của chính nó (chạy kể từ bên trên nằm trong phía trái quý phái bên dưới nằm trong mặt mũi phải) để sở hữu A^T;
Viết những mặt hàng của A trở thành cột của A^T;
Viết những cột của A trở thành mặt hàng của A^T.

Về mặt mũi mẫu mã, thành phần của mặt hàng loại i, cột loại j của ma mãnh trận A^T là thành phần của mặt hàng loại j, cột loại i của ma mãnh trận A:

Nếu A là ma mãnh trận m × n thì A^T là ma mãnh trận n × m.

Trong tình huống là ma mãnh trận vuông, A^T biểu thị lũy quá loại T của ma mãnh trận A. Để rời sự lầm lẫn rất có thể xẩy ra, nhiều người sáng tác dùng ký hiệu lũy quá T phía trái, khi cơ ký hiệu của gửi vị là ^TA. Một ưu thế của ký hiệu này là ko cần thiết vết ngoặc đơn khi tương quan cho tới số mũ: khi (^TA)ⁿ = ^T(Aⁿ), ký hiệu ^TAⁿ không khiến lầm lẫn.

Trong nội dung bài viết này, rời lầm lẫn này bằng phương pháp ko khi nào dùng ký hiệu T bên dưới dạng thương hiệu phát triển thành.

Định nghĩa ma mãnh trận tương quan cho tới gửi vị[sửa | sửa mã nguồn]

Ma trận vuông đem gửi vị vày chủ yếu nó được gọi là ma trận đối xứng; tức là, A đối xứng nếu

Ma trận vuông đem gửi vị vày phần trừ của chính nó được gọi là ma trận phản đối xứng; tức là, A phản đối xứng nếu

Ma trận vuông phức đem gửi vị vày ma mãnh trận với từng thành phần được thay cho thế vày phối hợp phức của chính nó (được biểu thị ở phía trên vày vết gạch men ngang) được gọi là ma trận Hermitian (tương đương với ma mãnh trận vày gửi vị liên hợp); tức là, A là một trong những Hermitian nếu

Ma trận vuông phức đem gửi vị vày phủ quyết định của phối hợp phức của chính nó được gọi là ma trận phản Hermitian; tức là, A là phản Hermitian nếu

Ma trận vuông đem gửi vị vày nghịch tặc hòn đảo của chính nó được gọi là ma trận trực giao; tức là, A trực giao phó nếu

Một ma mãnh trận phức vuông đem gửi vị vày nghịch tặc hòn đảo phối hợp của chính nó được gọi là ma trận unita; tức là, A đơn nhất (unita) nếu

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Cho A và B là 2 ma mãnh trận và c là một trong những đại lượng vô phía.

Tích[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu A là một trong những ma mãnh trận m × n và A^T là gửi vị của chính nó thì sản phẩm của quy tắc nhân ma mãnh trận với nhị ma mãnh trận này tạo ra nhị ma mãnh trận vuông: A A^T là ma mãnh trận m × m và A^T A là ma mãnh trận n × n. Hơn nữa, những tích này đều là ma mãnh trận đối xứng. Thật vậy, tích ma mãnh trận A A^T đem thành phần là tích nhập của một mặt hàng A với cùng một cột A^T. Nhưng những cột của A^T là những mặt hàng của A, bởi vậy thành phần ứng với tích nhập của nhị mặt hàng của A. Nếu p_{i j} là thành phần của tích, nó được lấy kể từ những mặt hàng i và j của A. Phần tử p_{j i} cũng rất được lấy kể từ những mặt hàng này, vì thế p_{i j} = p_{j i}, và tích của ma mãnh trận (p_{i j}) đối xứng. Tương tự động, tích A^T A là một trong những ma mãnh trận đối xứng.

Xem thêm: sinh nam 1990 hop voi tuoi nao

Một minh chứng thời gian nhanh về tính chất đối xứng của A A^T mang đến sản phẩm kể từ thực tiễn rằng nó là gửi vị của chủ yếu nó:

^[8]

Thực hiện nay gửi vị ma mãnh trận bên trên máy tính[sửa | sửa mã nguồn]

Trên PC, người tớ thông thường rất có thể rời gửi vị một ma mãnh trận nhập bộ nhớ lưu trữ bằng phương pháp chỉ việc truy vấn và một tài liệu theo đuổi một trật tự không giống nhau. Ví dụ: tủ sách ứng dụng mang đến đại số tuyến tính, ví dụ như BLAS, thông thường hỗ trợ những tùy lựa chọn nhằm hướng dẫn và chỉ định rằng một trong những ma mãnh trận chắc chắn sẽ tiến hành trình diễn giải theo đuổi trật tự hoạn nhằm rời sự cung cấp thiết của việc dịch chuyển tài liệu.

Tuy nhiên, vẫn đang còn một trong những tình huống quan trọng hoặc mong ước bố trí lại một cơ hội vật lý cơ một ma mãnh trận nhập bộ nhớ lưu trữ theo đuổi trật tự tiếp tục hoạn của chính nó. Ví dụ, với cùng một ma mãnh trận được tàng trữ nhập hàng-thứ tự động chủ yếu, những mặt hàng của ma mãnh trận ngay tắp lự nhau nhập bộ nhớ lưu trữ và những cột ko ngay tắp lự nhau. Nếu những thao tác tái diễn rất cần phải tiến hành bên trên những cột, ví như nhập thuật toán đổi khác Fourier thời gian nhanh thì việc gửi ma mãnh trận nhập bộ nhớ lưu trữ (để thực hiện cho những cột ngay tắp lự nhau) rất có thể nâng cao hiệu suất bằng phương pháp tăng địa điểm tham ô chiếu.

Lý tưởng nhất, tớ rất có thể kỳ vọng quy đổi một ma mãnh trận với bộ nhớ lưu trữ bổ sung cập nhật ít nhất. Vấn đề này dẫn theo yếu tố quy đổi một ma mãnh trận bên trên điểm n × m, với bộ nhớ lưu trữ bổ sung cập nhật O(1) hoặc tối nhiều bộ nhớ lưu trữ thấp hơn nhiều mn. Cho n ≠ m, điều này tương quan cho tới một hoạn phức tạp của những thành phần tài liệu nhưng mà ko nên là tầm thông thường nhằm xây dựng bên trên điểm. Do cơ, gửi vị ma mãnh trận bên trên điểm hiệu suất cao được xem là chủ thể của tương đối nhiều ấn phẩm nghiên cứu và phân tích nhập khoa học tập PC, chính thức từ thời điểm cuối trong thời điểm 1950 và một trong những thuật toán đang được cách tân và phát triển.

Chuyển vị của ánh xạ tuyến tính và dạng tuy nhiên tuyến tính[sửa | sửa mã nguồn]

Nhớ lại rằng những ma mãnh trận rất có thể được đặt điều ứng đơn với toán tử tuyến tính. Chuyển vị của một toán tử tuyến tính rất có thể được xác lập nhưng mà ko cần thiết đánh giá nên trình diễn ma mãnh trận. Điều này dẫn theo một khái niệm tổng quát lác rộng lớn về quy tắc gửi vị rất có thể được vận dụng cho những toán tử tuyến tính ko thể được trình diễn vày ma mãnh trận (ví dụ tương quan cho tới nhiều không khí vectơ chiều vô hạn).

Chuyển vị của ánh xạ tuyến tính[sửa | sửa mã nguồn]

Đặt X^# biểu thị không khí đối ngẫu đại số (algebraic dual space) của một mô-đun-R- X. Đặt X và Y là những mô-đun-R. Nếu u : X → Y là ánh xạ tuyến tính thì phần phụ đại số (algebraic adjoint) hoặc đối ngẫu (dual) của chính nó,^[9] là ánh xạ ^#u : Y^# → X^# được xác lập vày f ↦ f ∘ u. Các hàm sản phẩm u^#(f) được gọi là pullback của f qua quýt u. Quan hệ tại đây đặc thù mang đến phần phụ đại số của u^[10]

⟨u^#(f), x⟩ = ⟨f, u(x)⟩ mang đến từng f ∈ Y' và x ∈ X

trong cơ ⟨•, •⟩ là một trong những hệ đối ngẫu (dual system) (tức là được xác lập vày ⟨z, h⟩ := h(z)). Định nghĩa này cũng vận dụng không bao giờ thay đổi so với mô-đun phía trái và không khí vectơ.^[11]

Định nghĩa của quy tắc gửi vị rất có thể được xem như là song lập với ngẫu nhiên dạng tuy nhiên tuyến nào là bên trên những mô-đun, không như phần phụ (bên dưới).

Không gian lận đối ngẫu liên tiếp của không khí vectơ tôpô (topological vector space) (TVS) X được ký hiệu vày X'. Nếu X và Y là những không khí vectơ tôpô thìa là ánh xạ tuyến tính u : X → Y là một trong những liên tục yếu khi và chỉ khi u^#(Y') ⊆ X', nhập tình huống cơ tớ đặt điều ^tu : Y' → X' biểu thị giới hạn của u^# cho tới Y'. Ánh xạ ^tu được gọi là chuyển vị^[12] của u.

Nếu ma mãnh trận A biểu thị một ánh xạ tuyến tính so với hạ tầng của V và W thì ma mãnh trận A^T biểu thị sự gửi vị của ánh xạ tuyến tính cơ so với hạ tầng đối ngẫu (dual base).

Chuyển vị của một dạng tuy nhiên tuyến tính[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi ánh xạ tuyến tính cho tới không khí đối ngẫu u : X → X^# khái niệm một dạng tuy nhiên tuyến B : X × X → F, với quan hệ B(x, y) = u(x)(y). Bằng cơ hội xác lập sự gửi vị của dạng tuy nhiên tuyến này là dạng tuy nhiên tuyến ^tB được xác lập vày gửi vị ^tu : X^## → X^# tức là ^tB(y, x) = ^tu(Ψ(y))(x), tớ thấy rằng B(x, y) = ^tB(y, x). Tại phía trên, Ψ là quy tắc đồng cấu ngẫu nhiên X → X^## nhập song liên hợp.

Phận phụ[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu không khí vectơ X và Y đem thứu tự là dạng tuy nhiên tuyến tính ko suy phát triển thành B_X và B_Y, một định nghĩa được gọi là phần phụ, đem tương quan ngặt nghèo với gửi vị, rất có thể được quyết định nghĩa:

Nếu u : X → Y là một trong những ánh xạ tuyến tính thân thiện không khí vectơ X và Y, tớ xác lập g là một trong những phận phụ của u nếu như g : Y → X thỏa mãn

Xem thêm: gia lap casio fx 570vn plus android

mang đến từng x ∈ X và y ∈ Y.

Các dạng tuy nhiên tuyến này xác lập đẳng cấu thân thiện X và X^#, và thân thiện Y và Y^#, dẫn tới việc đẳng cấu thân thiện gửi vị và phần phụ của u. Ma trận của phần phụ của một ánh xạ là ma mãnh trận gửi vị chỉ khi hạ tầng là trực chuẩn chỉnh so với dạng tuy nhiên tuyến. Trong toàn cảnh này, nhiều người sáng tác dùng thuật ngữ gửi vị nhằm chỉ phần phụ như được khái niệm ở phía trên.

Phần phụ được chấp nhận tớ đánh giá liệu g : Y → X vày u⁻¹ : Y → X. Đặc biệt, điều này được chấp nhận group trực chuẩn chỉnh bên trên không khí vectơ X đem dạng bậc nhị được xác lập nhưng mà ko cần thiết tham ô chiếu cho tới ma mãnh trận (cũng tựa như những bộ phận của nó) bên dưới dạng hội tụ toàn bộ những ánh xạ tuyến tính X → X nhưng mà phần phụ vày nghịch tặc hòn đảo.

Trên một không khí vectơ phức tạp, người tớ thông thường thao tác làm việc với dạng chào bán tuy nhiên tuyến tính (tuyến tính phối hợp nhập một đối số) chứ không những dạng tuy nhiên tuyến tính. Phần phụ Hermitian của ánh xạ trong số những không khí vì vậy được xác lập tương tự động và ma mãnh trận của phần phụ Hermitian được mang đến vày ma mãnh trận gửi vị liên hợp nếu như những hạ tầng là trực chuẩn chỉnh.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Ma trận phụ phù hợp, gửi vị của quyết định thức con
Chuyển vị liên hiệp
Giả nghịch tặc hòn đảo Moore–Penrose
Phép chiếu (đại số tuyến tính)

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

^ ^a ^b “Comprehensive List of Algebra Symbols”. Math Vault (bằng giờ Anh). ngày 25 mon 3 năm 2020. Truy cập ngày 8 mon 9 năm 2020.
^ Nykamp, Duane. “The transpose of a matrix”. Math Insight. Truy cập ngày 8 mon 9 năm 2020.
^ Arthur Cayley (1858) "A memoir on the theory of matrices", Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 148: 17–37. The transpose (or "transposition") is defined on page 31.
^ T.A. Whitelaw (ngày 1 tháng tư năm 1991). Introduction lớn Linear Algebra, 2nd edition. CRC Press. ISBN 978-0-7514-0159-2.
^ “Transpose of a Matrix Product (ProofWiki)”. ProofWiki. Truy cập ngày 4 mon hai năm 2021.
^ “What is the best symbol for vector/matrix transpose?”. Stack Exchange. Truy cập ngày 4 mon hai năm 2021.
^ Weisstein, Eric W. “Transpose”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 8 mon 9 năm 2020.
^ Gilbert Strang (2006) Linear Algebra and its Applications 4th edition, page 51, Thomson Brooks/Cole ISBN 0-03-010567-6
^ Schaefer & Wolff 1999, tr. 128.
^ Halmos 1974, §44
^ Bourbaki 1989, II §2.5
^ Trèves 2006, tr. 240.

Đọc thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Bản mẫu:Bourbaki Algebra I Chapters 1-3 Springer
Halmos, Paul (1974), Finite dimensional vector spaces, Springer, ISBN 978-0-387-90093-3.
Maruskin, Jared M. (2012). Essential Linear Algebra. San José: Solar Crest. tr. 122–132. ISBN 978-0-9850627-3-6.
Bản mẫu:Schaefer Wolff Topological Vector Spaces
Bản mẫu:Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels
Schwartz, Jacob T. (2001). Introduction lớn Matrices and Vectors. Mineola: Dover. tr. 126–132. ISBN 0-486-42000-0.