Bạn đang xem: Nguyên hàm online
Xem thêm: Một Ngày Nọ Kẻ Hủy Diệt Gõ Cửa Nhà Tôi Tập 6, Một Ngày Nọ Kẻ Hủy Diệt Gõ Cửa Nhà Tôi
Nếu F(x) là 1 trong những nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một trong nguyên hàm của f(x) trên K.2.ĐINH LÍ2Nếu F() là 1 trong nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K thì rất nhiều nguyên hàm của f() bên trên K đều phải có dạng F() + C, cùng với C là 1 trong những hằng số.Chứng minh. Giả sử G(x) cũng là 1 trong những nguyên hàm của f() trên K, tức là G”(A) = f(), = K. Khi đó (G(A) – F(x) = G(A) – F (A) = f(x) = f(x) = 0, e K. Vậy G(x) = F() là 1 trong những hàm số không đổi trên K. Ta tất cả G(x) = F(A) = C → G(A) = F(x) + C. A. E. K. Hai định lí trên cho thấy: nếu F() là 1 trong những nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K thì F(x) + C, Ce R là họ toàn bộ các nguyên hàm của f() trên K. Kí hiệuCHU Y Biểu thức f()d chính là vi phân của nguyên hàm F() của f(), vì dF() = F"() d = f() d. Lấy ví dụ 2a) Võive (-O: +o), 2dv = A + C b). Cùng với x = (0: +ơO), fods = ln s + C’ ; c). Với một = (–OC: +…), Icos{dI = Sin t + C. Tính chất của nguyên hàm TÍNH CHẤT 1 Jr (tody – f(x) + C.Tính hóa học này được suy trực tiếp từ tư tưởng nguyên hàm. Ví dụ sau đây minh hoạ cho đặc thù đó. Lấy một ví dụ 3. (cos x)’ dx = s-sinx)dx = cos x + C.TÍNH CHẤT 2(k là hằng số không giống 0).Chứng minh. Call F() là một trong những nguyên hàm của kf{), ta có k/(v) = F(v) (*) r, 1. ) vì chưng k = 0, yêu cầu f(x) = F (A) = ( tự đó, theo đặc điểm 1 ta tất cả kf(a)dy = Fo) dx = “) — C) = F(x) + KC (CI e IR) = F(x) + C (vì C, tuỳ ý ở trong R với k z0 bắt buộc C = C tuỳ ý ở trong R) skf(x)dx (do (*)).TÍNH CHẤT 3f(x) g(x))dx |f(x)dx 士 Jg(a)dy.4 عين * bệnh minh. TÍnh chất 3. Lấy ví dụ như 4. Search nguyên hàm của hàm số f(x) = 3sin + * trên khoảng chừng (0; +ơ). Giải. Cùng với = (0, #2O), ta cóÍ3sins — id = 3 || sin xdx + 2 side = —3 cos x + 2 ln x + C .3. Sự sống thọ nguyên hàm Ta thừa đánh giá và nhận định lí bên dưới đây, ĐINH LÍ3Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều phải có nguyên hàm trên K. 95 lấy một ví dụ 52 a). Hàm số f(x) = o tất cả nguyên hàm trên khoảng tầm (0; +…) cùng 2. 5 joids – as x’ dix’ – ミ* + C.b). Hàm số g(x) = gồm nguyên hàm bên trên từng khoảng {{ft:(K + 1)ft) SITA (K = 7) vàH—* = – cotx + C.sin x 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp gỡ 5 Lập bảng theo mẫu tiếp sau đây rồi cần sử dụng bảng đạo hàm trang 77 cùng trong SGK Đại sốvà Giải tích 11 để điền những hàm số tương thích vào cột bên phảf"(x) f(x) + Cα” inα (α > 0, α = 1)COSA- sinx từ bảng các đạo hàm, ta gồm bảng nguyên hàm sau đây.sode = C. Sade = — + C (a > 0, a z 1) lina = x + C. Cos Adx = sin x + C ‘div – ” ‘ ” – C (απ – 1) isin di = — cos x + C C – – 1 dy – Ins – C 5 — dx = tan x + C COS A jeda = e + C f -7 dx = – cot x + C L sin vVí dụ 6. Tính :a) se — trên khoảng chừng (0; +ơC):b) 3cosa -3’ ‘)de trên khoảng (-2C :+ơC).Giảia) Vöixe(0:+x)tacó= 2 sx*dx + a2 l 2. + 3×3 + C = + 3 r + C.b). Cùng với = (~C :+oo) ta có3cos x – 3*)dx = 3|cos Adix – s’ dx3. – — + C = 3 sin x -l + C. 3. In 3 In 3= 3 sin x – CHÚ Ý:Từ đây, yêu ước tìm nguyên hàm của một hàm số được đọc là tra cứu nguyên hàm bên trên từng khoảng khẳng định của nó.7. Giải tích 12A 97|| – PHƯONG PHÁP TÍNH NGUYÊN HAM1. Cách thức đổi biến đổi số6a) cho !)”dx. Đặt u = = 1, hãy viết (A-1)”dr theo II cùng du.b) đến !”ody. Đặt = c”, hãy viết “ode theo I và d. ĐINH LÍ1Nếu |f(u)du = F(u) + C và u = u() là hàm số có đạo hàm tiếp tục thì|f(u,v)u"(x)dy = F(u(x) + C.Chứng minh. Theo phương pháp đạo hàm của hàm hợp, ta tất cả (F(и(x)))” = F”(и).и”(x). Vày F"(t) = fu = f{u()) buộc phải (F(u()))’ = f{u())u"(). Như vậy, cách làm |f(u)du = F(u) + C đúng vào khi u là thay đổi số tự do thì cũng đúng vào lúc u là một hàm số của trở nên số hòa bình , HÊ QUẢVới u = a + b (a z 0), ta cóF(αA + b) + C. (/Ví dụ 7. Tính